Lieven Smits
inhoud

Voorwoord

"Über die Grundlagen der Mechanik liegen von physikalischer Seite bedeutende Untersuchungen vor; [...] er is daher sehr wünschenswert, wenn auch von den Mathematikern die Erörterung der Grundlagen der Mechanik aufgenommen würde."

David Hilbert, zesde probleem

Toen Hilbert in het jaar van de eeuwwisseling te Parijs zijn historische voordracht "Mathematische Probleme" hield, kon hij geen vermoeden hebben van de enorme revoluties die de natuurkunde te wachten stonden. Waar hij stelt dat de axiomatisatie van de natuurkunde nauw verbonden moet zijn met de theorie der waarschijnlijkheid, baseert hij zich op het werk van negentiende-eeuwse reuzen als Mach, Hertz en Boltzmann. Des te groter is zijn verdienste, als hij erin slaagt de taak te omschrijven van die op dat moment nog jonge tak der wetenschap, de wiskundige natuurkunde, en tevens de toenemende abstractie in alle takken van de natuurwetenschap anticipeert.

De mooiste ideeën in de fysica ontstaan uit paradoxen. Een paradox is een vingerwijzing dat de oude theorie niet klopt, dat men tegenstrijdige veronderstellingen heeft gemaakt aangaande de natuur en haar verschijning.

Het is hier dat de wiskundige natuurkunde van een boeiend tijdverdrijf overgaat in een machtig wapen. Want zij formuleert expliciet wat de veronderstelingen omtrent de natuur zijn, en laat op die manier toe deze veronderstellingen in vraag te stellen. Er is geen beter middel om een ogenschijnlijke tegenstrijdigheid op te lossen dan de tegenstrijdige argumenten in één taal te formuleren.

Een voorbeeld. In [Peeters2] stellen Peeters en Devreese dat de ongelijkheid van Feynman kan veralgemeend worden tot magnetische velden. Hun argumenten zijn niet sluitend, maar doen een beroep op bepaalde analogieën. Sommige bronnen (o.a. [Larsen1]) houden vol dat tegenvoorbeelden bestaan. Ook zij lijken zich echter niet volledig te kunnen beroepen op strenge mathematische modellen om hun formules een harde bodem te geven.

Bij het schrijven van deze verhandeling heb ik getracht een synthese te geven van enkele wiskundige hulpmiddelen die de fysicus ter beschikking staan bij het werken met padintegralen. Centraal staan de Wienerintegraal en de ermee verwante Brownse beweging; een gezaghebbend auteur als Barry Simon beschouwt deze als de beste wiskundige vertaling van de Feynman-padintegralen voor imaginaire tijden (zie voorwoord tot [Simon1]). Als gevolg van deze keuze is vrijwel geen aandacht besteed aan de zeer mooie intuïtieve opbouw van de Feynman-padintegraal, die we aanbevolen houden als ronduit fascinerende lectuur ([Feynman3] en zelfs heel het boek [Feynman1]).

In een eerste hoofdstuk worden enkele begrippen uit de statistische mechanica summier gedefinieerd ter motivatie van de studie van halfgroepen van operatoren; vervolgens worden halfgroepen gedefinieerd. Het tweede hoofdstuk heeft twee bedoelingen. Eerst worden de Brownse beweging en aanverwante processen geconstrueerd, daarna wordt het Feynman-Kac-formalisme bewezen. Ik wens hier te wijzen op een subtiel verschil in terminologie: [Simon1] spreekt over dit formalisme zoals wij, terwijl [Schuman1] een toepassing ervan bedoelt.

Hoofdstuk drie heeft dezelfde structuur als hoofdstuk twee. Enerzijds wordt het begrip "stochastische integraal" ingevoerd, anderzijds worden de resultaten van het vorige hoofdstuk opnieuw geformuleerd, ditmaal in de aanwezigheid van een magnetische vectorpotentiaal A. Dit culmineert in het Feynman-Kac-Itô-formalisme.

In het vierde hoofdstuk wordt getracht het klassieke resultaat van de "padintegraal met kwadratische actie" op strenge wijze te berekenen, meer bepaald op een manier die geen gebruik maakt van de snelheid van de paden.

Het laatste hoofdstuk behandelt kort enkele ongelijkheden die gebruikt kunnen worden bij het afschatten van de vrije energie van een systeem.

Ik wens langs deze weg mijn oprechte dank te betuigen aan al degenen die deze thesis mogelijk hebben gemaakt door een stimulerende invloed en/of een actieve bijdrage. In het bijzonder dank ik mijn promotor, prof. van Casteren, voor zijn niet aflatende belangstelling en de vele tientallen uren die hij meegezwoegd heeft, ook op technische details. Verder dank ik prof. Devreese, copromotor, die mij van een boeiend en actueel probleem voorzag, zoals een gids die een oriëntatiepunt op de horizon aangeeft.

Deze thesis is geen voorbeeld van logische samenhang. Men verwachte geen "Wonderland of Nonsense, Stories en Wit" van iemand die pas zes maanden tevoren heeft leren spreken. Toch hoop ik de lezer enige klaarheid te verschaffen in de mooie structuren die aan de ogenschijnlijk triviale ongelijkheid van Feynman ten grondslag liggen.

Lieven Smits
juni 1986


inhoud

Valid HTML 4.0!