Lieven Smits
inhoud

Hoofdstuk 4. Kwadratische acties

Weinig padintegralen kunnen expliciet uitgerekend worden tot een 'eenvoudige' uitdrukking, de prijs die betaald wordt voor de algemeenheid van het formalisme. In het geval van een 'kwadratische actie' geeft de literatuur echter wel een gesloten uitdrukking ([Feynman1] p. 58-62 en [Schulman1] p. 31-59). De redenering die meestal toegepast wordt, dient echter wel aangepast te worden in die zin dat voor Brownse beweging het begrip 'actie' geen zin heeft, terwijl het in de Feynman-integraal een cruciale rol speelt.

4.1 Stelling

Zij c: [0,t® Â+ continu, e: [0,t® Ân continu en V: [0,t´ Ân ® Â: (s,x® c(s)||x||2 + e(s).x

Veronderstel dat de volgende differentiaalvergelijking met begin- en eindvoorwaarde

x"(s)  =  c(s)x(s) + e(s (0 < s < t)
x(0)  =  X (X Î Ân vast)
x(t)  =  Y (Y Î Ân vast)

een (niet noodzakelijk unieke) oplossing x º x: [0,t® Ân heeft die driemaal continu differentieerbaar is.

Dan is

waar

bewijs

Het minimum van de hyperparaboloïde V(s,.) heeft coördinaten xi = -ei(s)/c(s). Als functie van s is V(s,-ei(s)/c(s)) continu, dus de waarden van V in het linkerlid van de bewering zijn langs onder begrensd door een constante V-.

We berekenen achtereenvolgens:

(convergentie gedomineerd door e-t.V-)

Tenslotte schatten we het verschil af:

Substitueer in de eerste integraal xk = x(kt/n) + yk, dxk = dyk en pas partiële sommatie toe:

4.2 De harmonische oscillator

4.3 Lemma

bewijs

4.4 Klassieke actie voor de gedwongen harmonische oscillator


inhoud