Lieven Smits
inhoud

Hoofdstuk 1. De dichtheidsmatrix in de statistische mechanica

1.1 Basispostulaat van de statistische fysica

Als een stelsel in evenwicht toestanden {Ti; iÎI} met energieën Ei kan aannemen, dan is de waarschijnlijkheid dat het stelsel zich in een toestand Ti bevindt, evenredig met e-Ei/kT, waar k de constante van Boltzmann is en T de absolute temperatuur.

Als Q = SiÎIe-Ei/kT een convergente som is, dan is de waarschijnlijkheid voor de toestand Ti dus

Pi = (1/Q)e-Ei/kT

Q heet de partitiefunctie van het systeem bij de gegeven temperatuur.

Een dergelijke kansverdeling op de verzameling mogelijke toestanden wordt canoniek ensemble genoemd. De verantwoording van de keuze van deze verdeling berust op redeneringen in verband met systemen in thermisch contact. T is dan de temperatuur van een uitwendig hittebad.

Onder bepaalde omstandigheden valt namelijk te verwachten dat de relatieve waarschijnlijkheid van toestanden onafhankelijk is van de keuze van de nulpuntsenergie, dus slechts afhangt van het energieverschil:

w1/w2 = f(E1 - E2)

Maar dan kan men verifiëren dat f voldoet aan de isomorfisme-eigenschap f(a + b) = f(a)f(b), en dus een exponentiële functie moet zijn. In fysische systemen blijkt dit vrijwel steeds een dalende functie te zijn, en men zou deze relatie kunnen gebruiken om de temperatuur T te definiëren.

1.2 De dichtheidsmatrix

Vanaf nu zullen we met "toestanden" steeds vectoren uit een separabele Hilbertruimte H bedoelen.

Veronderstel dat de toestanden die het systeem kan innemen, eigenvectoren zijn van een Hamilton-operator en een Schauderbasis voor de Hilbertruimte vormen. Onder de verwachtingswaarde van een operator A in de Hilbertruimte verstaat men de verwachting van <i|A|i>, waarbij elke basistoestand |i> de waarschijnlijkheid (1/Q)e-bEi heeft.

<A> = (1/Q)SiÎIe-bEi<i|A|i>
  = (1/Q)Si,jÎI<e-bEi i|j><j|A|i>
  = Tr(r(b)A)

waar Tr het spoor van een operator aanduidt, en r(b) de (diagonale) operator is met matrixelementen <i|r(b)|j> = (1/Q)e-bEi dij.

r(b) heet de dichtheidsmatrix van het systeem met Hamiltoniaan H voor inverse temperatuur b.

Het is duidelijk dat r(b) een begrensde operator is als en slechts als de verzameling {Ei;iÎI} langs onder begrensd is. We formuleren dit nauwkeuriger in paragraaf 2.3.2. Beschouw in dat geval de afbeelding

r:Â+ ®B(H): b®r(b).

Deze heeft de eigenschappen van een continue éénparametrische halfgroep in B(H) met de Hamiltoniaan als generator:

r(s + t)|i> = e-(s + t)Ei|i>
  = r(s)|i> + r(t)|i>
lims®0 (r(s) - 1)|i> = lims®0 (e-sEi - 1)|i> = |0>
lims®0 (1/s)(r(s) - 1)|i> = lims®0 (1/s)(e-sEi - 1)|i> = Ei|i>

1.3 Sterk continue halfgroepen van operatoren

1.3.1 definities

Zij X een reële of complexe Banachruimte, B(X) de ruimte der continue lineaire transformaties van X. Een afbeelding

P:Â+®B(X): t®P(t)

heet sterk continue halfgroep in X als:

  1. P(0) = 1
  2. voor alle s, t > 0: P(s + t) = P(s)P(t)
  3. voor alle x Î X: limt®0 P(t)x = x

De generator van deze halfgroep is de (in het algemeen niet begrensde) operator A, gedefinieerd door

Ax = limt®0 (1/t)(P(t)x - x)

op zijn domein D(A) = {x Î X; limt®0 (1/t)(P(t)x - x) bestaat}.

We zullen verscheidene resultaten over halfgroepen zonder bewijs citeren, en verwijzen naar [Hille1], [Davies1], [Rudin1] (hoofdstuk 13) en [VanCasteren1].

1.3.2 stelling

De generator A van een sterk continue halfgroep heeft een domein D(A) dat dicht ligt in de Banachruimte X. De grafiek van A, gedefinieerd als

{(x, Ax);x Î D(A)}

is een gesloten deel van X ´ X.

bewijs

Zie bijvoorbeeld [Rudin1] p. 356.

1.3.3 definities

De definities in deze paragraaf laten toe propositie 2.3.1 en stelling 2.3.3 (Lie-Trotter) eenvoudiger te formuleren.

Kijken we in het bijzonder naar halfgroepen in een Hilbertruimte H. We herinneren eraan dat de begrippen symmetrisch en zelftoegevoegd voor onbegrensde operatoren een verschillende betekenis hebben.

Een operator T heet symmetrisch als voor alle x en y in zijn domein D(T):

<x|Ty> = <Tx|y>.

De toegevoegde operator T+ van een operator T is slechts gedefinieerd als het domein van T dicht is, nl. als volgt:

domein D(T+) = {y Î H; x®<Tx|y> is continu op D(T)}

T+y is dan de unieke vector z Î H zodanig dat voor alle x Î H: <Tx|y> = <x|z>

T heet zelftoegevoegd als hij dicht gedefinieerd is en precies gelijk aan zijn toegevoegde (dus met hetzelfde domein !).

Een operator T heet positief als voor elke x in zijn domein de uitdrukking <Tx|x> reëel en minstens 0 is. Een halfgroep van operatoren {P(t);t Î Â+} heet positief als alle operatoren P(t) dat zijn. T heet langs onder begrensd als er een reëel getal r bestaat zodat T - r1 positief is.

Merken we nog op dat in de symbolic calculus voor normale operatoren (zie [Rudin1] p. 343) een betekenis gehecht wordt aan f(H), waar H een normale operator is en f een meetbare functie op het spectrum van H. Zo bewijst men dat elke sterk continue halfgroep met normale generator A in een separabele complexe Hilbertruimte de vorm etA heeft. Wij zullen deze eigenschap nergens gebruiken, maar welk dankbaar gebruik maken van deze notatie voor halfgroepen in L2(Ân).

inhoud